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【转载】用归纳方法把有限小数与无限循环小数化成分数(原创)  

2016-03-10 18:04:14|  分类: 数学知识 |  标签: |举报 |字号 订阅

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                        用归纳方法把有限小数与无限循环小数化成分数(原创)

                                           (作者:奇东,润东、安东,单位:齐东)

一、一题多解:将无限循环小数化成分数或者整数的有效方法,根据小数与分数的性质、任意无限循环小数均有一个分数与其相对应,因此,将已知无限循环小数对应着的“未知分数”设为X, 无须用等比数列极限求前n项和的方法,然后求方程的解,其方程的解(答案)是完全正确的:

例一:将无限循环小数0.123(·)化成分数:

解题:已知无限循环小数:0.123(·),将已知无限循环小数0.123(·)的未知分数设为X,

∴X=0.123(·)——1式,(1式)两边同时乘以10得:

10X=1.23(·)——2式,(2式)-(1式)得:9X=1.11,X =1.11/9,

X =0.37/3,X =37/300,∴X=0.123(·)=37/300,即:0.123(·)=37/300

例二:将无限循环小数0.9(·)化成分数(整数):

解题:已知无限循环小数0.9(·),将已知无限循环小数0.9(·)的未知分数设为X,

即0.9(·)= X——1式,令10X=10(0.9+0.09(·)),10X=9+0.9(·) ——2式,

将(2式)中的无限循环小数0.9(·)更换为X得:10X=9+X, 10X-X=9,

9X=9,X=9/9,X=1/1,X=1,∴X=0.9(·)=1,即:0.9(·)=1

例三:将无限循环小数0.26(··)化成分数:

解题:已知无限循环小数0.26(··),将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X,

即0.26(··) =X——1式,令100X=100(0.26+0.0026(··)),100X=26+0.26(··)——2式,

将(2式)中的无限循环小数0.26(··)更换为X得:100x=26+X,

100X-X=26,99X= 26,X=26/99,∴X=0.26(··)=26/99,即:0.26(··)=26/99

例四:将无限循环小数0.123(··)化成分数:

解题:已知无限循环小数0.123(··),将已知无限循环小数0.123(··)的未知分数设为X,

即0.123(··)= X ——1式,令1000X=1000(0.123+0.000123(··)),

1000X=123+0.123(··)——2式,将(2式)中的无限循环小数0.123(··)更换为X得:

1000X=123+X,1000X-X=123, 999 X=123,X=123/999,X=41/333,

∴X=0.123(··)=41/333,即:0.123(··)=41/333

例五:将无限循环小数0.128(··)化成分数:

解题:已知无限循环小数0.128(··),将已知无限循环小数0.128(··)的未知分数设为X,

即0. 128(··)= X——1式,令1000X=1000(0.128+0.000128(··)),

1000X=128+0.128(··)——2式,将(2式)中的无限循环小数0. 128(··)更换为X得:

1000X=128+X,1000X-X=128, 999 X=128,X=128/999,

∴X=0.128(··)=128/999,即:0.128(··)=128/999

归纳一下,通过上述证明我们得知令10X、100X、1000X等等,并非任意的,毫无目的,而是有针对性,需要区别对待,不过恰恰有规律可循,要根据小数循环节的数字来定,如果循环节是1位数字乘以10,如果循环节是2位数字乘以10^2,如果循环节是3位数字乘以10^3,等等以此类推如果循环节有n个数字需要乘以10^n次方,目的是为了消除无限循环小数的无限循环节,…;因为无限不循环小数(无理数)无公度比,因此无限不循环小数无理数)不能化成分数形式、即不能表达为n/m的形式,…。(作者:奇东)

二、用归纳方法把有限小数与无限循环小数化成分数:

如何把循环小数(纯循环小数、混循环小数、)有限小数、带小数化成分数

1、有感于小数0.126与0.˙126˙二者之间的数值差异,数值差异是多少? 突发“奇想”、“异想天开”:

令0.126=126/1000

=126/(999+1)

假设:0.126=126/1000=126/(999+1)=[(126/999)+X]

=(0.˙126˙+X)——(1)式,

移项、通分得:

126/1000=126/(999+1)=[(126/999)+X]

X=(126/1000)-(126/999)

X=(126*999)/(1000*999)-(126*1000)/(999*1000)

X =(125874/999000)-(126000/999000)

=-126/999000

X=-126/999000

=-0.000˙126˙,

0.126=126/1000与0.˙126˙=126/999的数值差异是:

-0.000˙126˙=-126/999000,

把X=-0.000˙126˙=-126/999000,

并代入(1)式得:(126/999)-(126/999000)

=126/1000=0.126

因为0.˙126˙=126/999

所以 (0.˙126˙-0.000˙126˙)

=0.126,通过验算后正确;

同时我们还得到了:

126/999=0.˙126˙、0.˙126˙=126/999、-0.˙126˙=-126/999

-0.000˙126˙=-126/999000、0.000˙126˙=126/999000,0.126=126/1000

2、由上述同理可得:0.˙126˙

=126/999

=126/(1000-1)

令:126/(1000-1)=[(126/1000)+X]

假设:126/999=[(126/1000)+X] ——(2)式,

或:0.˙126˙=(0.126+X)

移项、通分得:

126/(1000-1)=[(126/1000)+X],

即:126/999=[(126/1000)+X]

X=(126×1000)/(999×1000)-(126×999)/(1000×999)

X =(126000/999000)- (125874/999000)

=126/999000

X=126/999000=0.000˙126˙,

X=126/999000

=0.000˙126˙,

0.˙126˙=126/999与0.126=126/1000的数值差异是:

0.000˙126˙=126/999000,

并把X=126/999000=0.000˙126˙

代入126/999=[(126/1000)+X] ——(2)式,

126/999=[(126/1000)+126/999000] ——(2)式,

126/999=[(126/1000)+126/999000]= 0.˙126˙

通过验证后正确;

同时还得到了:

0.˙126˙=126/999,0.000˙126˙=126/999000,0.126=126/1000

注:数字左右上方带点的小数均表示无限循环小数,

譬如:

1415926/10000000=0.1415926,

=1415926/(9999999+1),

假设:1415926/10000000=[1415926/(9999999)+X]

=(0.˙1415926˙+X)——(1式)

所以X= [(1415926*9999999)/10000000*9999999]

-(1415926*10000000)/(9999999*10000000)

=(14159258584074/99999990000000)

-(14159260000000/99999990000000)

=-1415926/99999990000000

=-0.0000000˙1415926˙(特表示无限循环小数)

X=-0.0000000˙1415926˙带入(1式)验证正确,

同时还得到了:

0.1415926=1415926/10000000,

0.˙1415926˙=1415926/9999999,

0.0000000˙1415926˙=1415926/99999990000000

根据以上运算结果由此归纳为:任一(无限)循环小数都可以化成分数,纯循环小数化成分数后的分子就是一个循环节的数字所组成的数,分母各位数字都是9,其个数与一个循环节位数相同,混循环小数化成分数的分子就是第2个循环节前面的数字,分母的头几位数字是9,末几位是0,9的个数与一个循环节位数相同,0的个数与不循环节的部分位数相同,统称为归纳方法,由于上述有限小数、无限循环小数化为分数比较简单直观,混循环小数化成分数还有一种情况比较复杂:

3、把混循环小数化成分数(比较复杂、有点难度):

譬如:把混循环小数0.228˙

化为分数:

解:0.228˙

=[(228/1000)+8/9000)]

=228/(900+100)+8/9000

=[(228/900)-(228/9000)]+(8/9000)

=(228/900)+[(8/9000)-(228/9000)]

=(228/900)-(22/900)

=(228-22)/900

=206/900

=103/450

=0.228˙;

譬如:把混循环小数0.126˙化成分数:

解:0.126˙=(0.126+0.0006˙)

=(126/1000)+(6/9000)

=[126/(900+100)+(6/9000)]

=[126/1000+(6/9000)]

=[(126/900)-(126)/(9000)]+(6/9000)

=(126/900)+[(6/9000)-(126/9000)]

=(126/900)-(12/900)

=(126-12)/900

=114/900

=57/450

=0.126˙,

譬如:把混循环小数0.123˙68˙化成分数:

解:0.123˙68˙=(0.12368+0.00000˙68˙)

=(12368/100000)+(68/9900000)

=[(12368/99000)-(12368/990000)]+(68/9900000)

=(12368/99000)+[(68/9900000)-(12368/9900000)]

=(12368/99000)+[(68/9900000)-(12368/9900000)]

=(12368/99000)-(12300/9900000)

=(12368-123)/99000

=12245/99000

=2449/19800;

其他混循环小数依次类推;

说明:上式中的0.228˙表示0.228888...,0.126˙表示0.126666...,0.123˙68˙混循环小数,把以上运算特征归纳为:混循环小数化成分数的分子就是第2个循环节前面的数字组成的数减去不循环部分数字组成的数之差,分母的头几位数字是9,末几位是0,9的个数与一个循环节位数相同,0的个数与不循环节的部分位数相同, 统称为归纳方法,譬如:0.228˙=(228-22)/900=206/900=103/450、

0.126˙=(126-12)/900=114/900=57/450,0.123˙68˙=(12368-123)/99000

=12245/99000=2449/19800;能约分的要化简。

4、有限小数化成分数:分母的首位数是1后面是0,0的个数与小数位数的个数相同,分子是把有限小数取作整数,把小数点右边的数看作整数作为分子,但不包括小数点右边十分位、百分位、千分位,...上的0,能约分的要化简,譬如:将0.678化为分数,即678/1000=339/500,0.1681=1681/10000,0.087=87/1000,0.0078=78/10000=39/5000,...;

5、带小数(混小数)化成分数:

譬如:将2.18化成分数,解:因为2.18=2+0.18,所以,2.18=2+0.18=2+(18/100)=2+(9/50)=109/50,把3.1415化成分数,∵3.1415=3+0.1415,∴3.1415=3+(1415/10000)=3+(283/2000)=6283/2000,等等以此类推,能约分的一定要化简;

6、负小数化成分数其法则、方法与以上相同:

譬如:-0. ˙186˙=-186/999=-62/333,-0.0˙87˙=-87/990=-29/330,-0.5678=-5678/10000=-2839/5000,等等依次类推,能约分的一定要化为最简分数,...。

7、使用归纳方法把下列小数化成分数:

(1)0.368˙616˙,(2)0.0105˙717˙,(3)0. ˙18˙,0. ˙168˙,0. ˙1787˙,(4)0.0˙869˙,0.00˙716˙,(5)0.36767,0.66558698,0.0687,0.0065,(6)2.18,3.1415,3. ˙56˙

解:

(1)0.368˙616˙=(368616-368)/999000=368248/999000=46031/124875,

(2)0.0105˙717˙=(105717-105)/9990000=105612/9990000=8801/832500,

(3)0. ˙18˙=18/99=2/11,0. ˙168˙=168/999=56/333,0. ˙1787˙=1787/9999,

(4)0.0˙869˙=869/9990,0.00˙716˙=716/99900=179/24975,

(5)0.36767=36767/10000,0.66558698=66558698/100000000

=33279349/50000000,0.0687=687/10000,0.0065=65/10000=13/2000,

(6)2.18=109/50,3.1415=6283/2000,3. ˙54˙=3+(54/99)=3+(6/11)

=39/11。

以上内容,并非猜测,是由拆分母运算大法则公式(公式没有列出)所得到的,...。(个别错,所难免)

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